A póker matematikája

(írta: jaaas)

Sokak számára ez rossz hír lesz, de igazán jó pókerjátékos csak abból lehet, aki jó matekból is. Különösen valószínûségszámításból. A preflop stratégia az előzőek alapján egy táblázatból bemagolható, de a játék későbbi részeiben már muszáj egyedi döntéseket hozni az aktuális nyerési esélyek alapján.

Nézzük az alapokat!

A játékban az indulás után még három licit-kör van. Mindhárom körben kell legalább egy döntést hozni arról, hogy érdemes-e újabb 1-2-3 egységet fektetnem az adott partiba. A kezdő és/vagy gyenge játékosok ezt ösztönösen, a megérzéseikra hagyatkozva szeretik megtenni, de sokkal hatékonyabb, ha inkább a matematikára bízzuk magunkat.

Szerencsejátékokon úgy lehet hosszútávon nyerni, ha olyan játékba teszünk pénzt, ahol a várható nyeremény szorozva a nyerési esélyünkkel nagyobb, mint a betett összeg. Másképp fogalmazva: ahol a várható érték pozitív. Nézzünk egy egyszerû példát:

Tegyük fel, a következő játékot játsszuk: Dobok egy dobókockával és ha a dobott szám 1,2,3,4 vagy 5, akkor fizetek neked $6-t, de ha 6-ost dobok, akkor te fizetsz nekem $36-t. Mi lesz itt a várható érték? A kockadobás során egyenlő esélyekkel jöhet ki bármelyik szám. Azaz várhatóan a dobott számok 1/6-a lesz 1-es, 2-es, ... 6-os is. Nézzük meg egyesével mindegyik esetet:

1/6 eséllyel 1-est dobok és veszítek $6-t.

Várható érték:

-$1

1/6 eséllyel 2-est dobok és veszítek $6-t.

Várható érték:

-$1

1/6 eséllyel 3-ast dobok és veszítek $6-t.

Várható érték:

-$1

1/6 eséllyel 4-est dobok és veszítek $6-t.

Várható érték:

-$1

1/6 eséllyel 5-öst dobok és veszítek $6-t.

Várható érték:

-$1

1/6 eséllyel 6-ost dobok és nyerek $36-t.

Várható érték:

$6

Összesen:

$1

Azaz a várható érték az én szempontonból pozitív. Hosszútávon várhatóan $1-t fogok nyerni minden egyes dobással. Ha a 6-osra csak $30 járna, akkor a 6-osra jutó várható érték csak $5, és így a teljes várható érték nulla lenne, azaz hosszú távon nem nyerne senki. $30 alatt pedig számomra már veszteséges lenne a játék.

A póker játék közben is hasonló dolgokat kell kiszámolni, csak itt egy kicsit összetettebb a dolog. Rögtön az első buktató, hogy csak néhány másodperc áll rendelkezésre arra, hogy kiszámoljuk a várható értéket. Mivel ennyi idő alatt nem lehet precíz számításokat végezni, találni kell valami közelítő megoldást. A profi játékosok nagy része "out"-okban gondolkodik. Azaz egy adott szituációban azokat a lapokat (lapkombinációkat) számolja össze, amikkel feltehetően nyerni fog.

Nézzünk egy konkrét példát!

A következő hand-el indultunk:

imgimg

A flop:

imgimgimg

Érdekes helyzet. Tulajdonképpen semmink nincs, viszont jó esély van arra, hogy lesz egy sor vagy flush. Tegyük fel, hogy valaki hív, és nekünk dönteni kell, hogy megadjuk-e az egy egységet.

Induljunk ki abból, hogy valószínûleg nem a mi lapunk a legjobb, így csak akkor nyerhetünk, ha a turn vagy a river során javul a lapunk. Nézzük hát, hogy hogyan javulhat:

  • Ha pl. Bármilyen pikk lap jön, akkor megvan a nut flush (a legmagasabb flush). 2 pikk van a kézben, 2 az asztalon, a nem ismert lapok között van még 9 lehetséges pikk lap. Ez eddig 9 out.

  • Ha jön egy bármilyen 6-os vagy J, akkor lesz egy sorunk. 4 db 6-os van még a pakliban + 4 db J, de ezek közül a pikkeket már számoltuk, így ez újabb 6 out.

  • És végül van egy kis esélyünk van akkor is nyerni, ha jön egy ász. Ez újabb 3 out.

Ez eddig összesen 18.

Nézzük most a buktatókat.

  • Ha a flush jön be, akkor tuti nyerők vagyunk, csak akkor kell izgulni, ha valamelyik lap duplikálódik az asztalon. (Csak ekkor lehet valakinek esélye full house-ra vagy pókerre.)

  • Ha sorunk lesz, akkor van egy kis esély, hogy valakinek egy magasabb sora jön be. (9J vagy 9Q lapokkal) Ennek már kicsit nagyobb az esélye, de még mindig nem jelentős.

  • Ha bejön az ász, akkor sajnos lehet számolni azzal, hogy valaki másnál is van ász egy nagyobb kickerrel vagy esetleg egy már meglévő párral. (De az is lehet, hogy valakinél már most van egy set.)

Ez kb. 3 outnak, de annyira abszúrdok a kimenetelek lehetőségei, h elég ha csak 2 out-tal számolunk. Tehát a 18 out-unkból elvesszük a 2, számunkra fenyegetően ható out-ot, és megkaptuk h a nyerséi esélyünk 16 out. Ez nagyon magas szám, ált.ban ennyi out soha nem jön ki!

A 16 out azt jelenti, hogy az általunk még nem ismert 47 lapból (52 lapos a pakli, de ebből 2 lap már nálunk van 3 pedig az asztalon) 16 lap segíthet nekünk. Ez körülbelül 34% esély arra, hogy a következő lappal nyerünk. Ha pedig az nem jön be, akkor a rivernél még mindig bejöhet. (Ott ekkor már 46 lapból kell jönnie a 16 jó lapnak, ennek kicsit nagyobb, kb. 35% a valószínûsége.) Annak az esélye, hogy se a turn-nél, se a rivernél nem jön jó lap: (1-0,34)*(1-0,35), azaz 0,66*0,65 = 0,43. Tehát összesítve 43% az esélye, hogy nem jön lap, azaz a maradék 57% az esélyünk, hogy nyerni fogunk. Ez olyan jó arány, hogy akár emelni is lehet. (Hiszen az esetek több, mint a felében mi fogunk nyerni.)

(Ha nem teljesen tiszta a fenti számítás: Úgy számoltam ki a jó esetek számát, hogy először kiszámoltam mennyi az esélye annak, hogy mindkétszer rossz lap jön. Ez lett a 43%. Nyilván ha az esetek 43%-ában nem jön egy jó lap se, akkor a fennmaradó 57%-ban fog jönni legalább egy jó lap. Ez lesz tehát a nyerési esélyünk.)

Most nézzünk egy kicsit rosszabb esetet, a kézben lévő lap ugyanaz, de legyen a flop a következő:

imgimg

Van egy párunk, de szinte biztosra lehet venni, hogy legalább egy játékosnál van K is. Mik az esélyeink ekkor?

  • Jön még egy 9. Ez 2 out.

  • Jön egy A. Újabb 3 out.

Ez összesen 5 out, de a kézben lévő párok (77, 99, KK, AA), vagy esetleg a sor-esélyre pályázó lapok okozhatnak kellemetlen meglepetéseket. Így jó közelítéssel lehet számolni azzal, hogy kb az esetek 10%-ában bukunk. Marad tehát 4.5 out a 47-ből. Kicsit egyszerûsítve mondhatjuk, hogy 10-ből egyszer fogunk nyerni. Érdemes betenni ekkor 1 egységet?

Erre már nem olyan egyszerû válaszolni! Itt már pontosan meg kell nézni a várható értéket. Fentebb megállapítottuk, hogy akkor érdemes játszani, ha a várható érték pozitív, azaz ha a nyerési esély szorozva a várható nyereménnyel nagyobb, mint a tét, amit be kell tenni. A nyerési esély megvan, kb 10%. A tét, amit be kell tenni 1 egység. A feladat egyszerû, nézzük meg mennyit fogunk nyerni!

Tegyük fel, hogy 4 játékos nézett flopot. A potban eddig $4 van. A második játékos nyitott a flopnál, a 3. bedobta, most jössz Te. A potban eddig van $5, ha Te és az utánad jövő játékos is betesz még 1-1-et, a potban akkor is csak $7 lesz. (Sőt, abból még lejön a rake is !)Azaz ezen a ponton a várható nyeremény csak $0.7 ! El kell dobni. És akkor még arról nem is beszéltünk, hogy mi van, ha az utánad jövő játékos esetleg emel, és ezzel duplájára nő az ebben a licit-körben beteendő tét!

Nézzük meg ugyanezt az esetet úgy, hogy preflop 4 játékos és a blindok is beszálltak. A flopnál az SB nyit, mindenki megadja és Te vagy a buttonnál. A potban eddig van $11, ha Te is megadod, akkor lesz $12, a várható érték $1.2. Ebben az esetben meg kell adni a hívást, elfogadható esély van a nyerésre.

Mi van akkor, ha nem jön be a turn-ben a megfelelő lap? A dolog roppant egyszerû, újra ki kell számolni az esélyeket, és annak megfelelően dönteni. Általában ilyenkor - ha nem jött semmi - már be kell dobni.

  • A turn-nél már 2 egység lesz a tét, amit be kell tenni.

  • Néhányan ki fognak szállni, ezzel csökkentve a pot várható nagyságát.

  • Megjelenhetnek újabb olyan lapok, amik csökkentik a nyerési esélyt. (Pl. lesz 2 egyforma értékû lap az asztalon vagy 3 egyforma színû, esetleg egy sor-esély, stb.)

Persze, ha a fentiek nem következnek be vagy esetleg senki nem hívott akkor lehet, hogy a várható érték még a turn-nél is jó lesz és érdemes végigmenni.(Néha-néha még az is lehet, hogy a 9-es párral fogunk nyerni, de azért erre nem érdemes számítani.)

Nézzünk meg még egy esetet:

imgimgimg

Majdnem ugyanaz, mint az előbb, de most van egy pikk is az asztalon! Azaz, ha a turn-nél és a rivernél is pikk lap jön, akkor un. backdoor flush-el lehet nyerni. Mennyit javít ez az esélyeken? A turn-nél 10 pikk jöhet, ennek az esélye 10/47. A rivernél a fennmaradó 9 közül kell egynek jönnie a 46 ismeretlen lapból. Azaz összesítve: (10/47)*(9/46) = 0.04. Azaz 4%, ami majdnem 2 out. Én az egyszerûség kedvéért 2 outnak szoktam számolni, mert ha esetleg tényleg bejön a két azonos színû lap a turn-nél és a rivernél, az ellenfelek úgysem fogják elhinni, hogy tényleg erre vártál, és simán megadják az emelésedet, vagy akár még vissza is emelnek. Azaz jól megnő a várható érték a riverben berakott plusz tétek miatt.

Persze ha ezzel az eséllyel is számolsz, akkor ha nem jön pikk a turn-nél, akkor még nagyobb lesz a várható érték csökkenése, így szinte biztos, hogy el kell majd dobni ha nem jön a többi lap se..

Elég bonyolultak ezek a számítások, igaz? De hát senki nem mondta, hogy a póker egy egyszerû játék. Ahogy egyre több és több partit játszol, úgy válik majd egyre rutinszerûbbé ez a számolgatás. De ha igazán precíznek érzed magad, érdemes egy saját kis táblázatot készíteni, amibe előre kiszámolod, hogy milyen kombinációknál hány embernél érdemes továbbmenni. Olyan ez, mint a sport. Ott se csak éles versenyekből áll az élet, kell néha edzeni is.

Végezetül a fentiek fényében nézzük meg az indulási stratégiánál írt alapszabályt kicsit alaposabban: A magas lapkombinációk kevés ellenfél ellen hatékonyak, a húzólapok pedig akkor, ha sok az ellenfél. Ez megint egy olyan tulajdonsága a pókernak, amit a kezdő játékosok ösztönösen pont fordítva gondolnak. Általános tévhit ugyanis, hogy minél többen jönnek be preflop, annál erősebb lap kell ahhoz, hogy megérje bennmaradni.

  • Az indulási stratégiában a magas lapkombinációk azért olyan erősek, mert sok partiban önmagunkban is megállják a helyüket vagy akár egyetlen jó lap segítségével is nyerők lehetnek. Viszont minél több játékos lép be egy partiba, annál valószínûbb, hogy valamelyiküknek bejön 2 pár, terc vagy akár egy sor is. Így a magas induló lapoknak az az előnye, hogy egy magas pár + magas kickerrel nyerni tudnak szinte teljesen eltûnik. (Persze még ekkor is valószínûleg ez lesz a legerősebb lap a partiban, de nem lesz sokkal jobb. Az előny akár annyira is lecsökkenhet, hogy emelni se biztos, hogy megéri.)

  • A kisebb suited connectorok, pl. `7`8 viszont olyan lapok, amelyeknél nem nagyon várható, hogy már a flopban monster handdé (a legmagasabb lapkombinációk) válnak. De ezekből a lapokból nagyszerû sorok vagy flush-ök lehetnek, ha kivárjuk vele a rivert is. Igen ám, de mint azt fentebb láttuk, húzó lappal csak akkor érdemes továbbmenni, ha pozitív a várható érték. Nos, a lapunk nyerési esélye nem lesz nagyobb attól, ha sokan játszanak, viszont a pot mérete ekkor megnő annyira, hogy ettől átbillenhet pozitívba a várható érték. Akár még egy inside straigth esetén is! Ez tehát az oka, hogy a "gyengébb" húzólapok a jobbak sok ellenfél ellen. (Tehát továbbra se lesz jobb ez a lap, mint egy AA, itt is csak annyi történik, hogy fold helyett feljavul a lap call-ra.)